常用线性代数公式

矩阵变换

$$
\left[ \begin{matrix}
a & b \\ c & d
\end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix} \right] = x
\left[ \begin{matrix}
a \\
c
\end{matrix} \right] + y
\left[ \begin{matrix}
b \\
d
\end{matrix} \right] =
\left[ \begin{matrix}
a x + b y \\
c x + d y
\end{matrix} \right]
$$

加法（Addition）

$$
A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)
$$

数乘（Scalar multiplication）

$$
k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA1
$$

乘法（Multiplication）

$$
A(B+C)=AB+AC，(AB)C=A(BC)
$$

叉积

$$\mathbf {a} \times \mathbf {b} = \begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\ a_{1}&a_{2}&a_{3} \\b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{vmatrix}$$

行列式（Determinant）

二阶矩阵的行列式

$$
det\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} =
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc
$$

三阶矩阵的行列式

$$
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix} = a (ei - fh) - b (di - fg) + c (dh - eg)
$$

拉普拉斯展开定理

对一个 $n$ 阶的行列式 $M$，去掉 $M$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列后形成的 $n−1$ 阶的行列式叫做 $M$ 关于元素 ${\displaystyle m_{ij}}$ 的余因式。记作 $M_{ij}$

$$
M_{ij}={\begin{vmatrix}m_{1,1}&\dots &m_{1,j-1}&m_{1,j+1}&\dots &m_{1,n}\\ \vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\ m_{i-1,1}&\dots &m_{i-1,j-1}&m_{i-1,j+1}&\dots &m_{i-1,n}\\ m_{i+1,1}&\dots &m_{i+1,j-1}&m_{i+1,j+1}&\dots &m_{i+1,n}\\ \vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\ m_{n,1}&\dots &m_{n,j-1}&m_{n,j+1}&\dots &m_{n,n} \end{vmatrix}}
$$

$M$ 关于元素 ${\displaystyle m_{ij}}$ 的代数余子式记作 $C_{ij}$。$C_{ij}=(-1)^{(i+j)}\cdot M_{ij}$

一个 $n$ 阶的行列式 $M$ 可以写成一行（或一列）的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行（或一列）的展开。

$$
\det {M} = \sum_{i=1}^{n}m_{i;j}C_{i,j}
$$

$$
\det {M} = \sum_{j=1}^{n}m_{i;j}C_{i,j}
$$

转置（Transpose）

$$
(\mathbf A + \mathbf B)^T = \mathbf A^T + \mathbf B^T
$$

$$
(\mathbf A \mathbf B)^T = \mathbf B^T \mathbf A^T
$$

逆（Inverse）

$$
(\mathbf A \mathbf B)^{-1} = \mathbf B^{-1} \mathbf A^{-1}
$$

$$
(\mathbf A^T)^{-1} = (\mathbf A^{-1})^T
$$